Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的離心率e=2，右焦點為F（c，0），方程ax²+bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，則點P（x₁，x₂） 滿足（　　）

A．必在圓x²+y²=2內

B．必在圓x²+y²=2外

C．必在圓x²+y²=2上

D．以上三種情形都有可能

Answer 1

分析：由根與系數的關系結合兩點間的距離公式，算出|OP|=

x12+x22

=

(- b a )2+ 2c a

．由雙曲線的離心率為2，算出c=2a且b=

3

a，可得|OP|=

7

，因此點P必在圓x²+y²=2外，可得答案．

解答：解：∵方程ax²+bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
可得|OP|=

x12+x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

=

(- b a )2+ 2c a

又∵雙曲線的離心率為e=

c

a

=2，可得c=2a，
∴c²=4a²=a²+b²，即3a²=b²，結合a＞0且b＞0，得b=

3

a．
∵圓的方程為x²+y²=2，∴圓心坐標為O（0，0），半徑r=

2

，
因此，|OP|=

(- b a )2+ 2c a

=

7

＞

2

，所以點P必在圓x²+y²=2外．
故選：B

點評：本題著重考查了一元二次方程根與系數的關系、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．