Question

設(shè)F₁、F₂是離心率為

5

的雙曲線

x2

a2

-

y 2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且|PF₁|=λ|PF₂|則λ的值為（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：取PF₂的中點(diǎn)A，推出

OA

⊥

F2P

，由OA 是△PF₁F₂的中位線，得到PF₁⊥PF₂，由雙曲線的定義求出|PF₁|和|PF₂|的值，進(jìn)而在△PF₁F₂中，由勾股定理得及

c

a

=

5

，解得λ的值．

解答：解：取PF₂的中點(diǎn)A，則

OP

+

OF2

=2

OA

，
∵(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0，∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，由 OA 是△PF₁F₂的中位線，
∴PF₁⊥PF₂，OA=

1

2

PF₁． 
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=λ|PF₂|，∴|PF₂|=

2a

λ-1

，|PF₁|=λ•

2a

λ-1

．
△PF₁F₂中，由勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=4C²，
∴(λ•

2a

λ-1

)2+(

2a

λ-1

)2=4c²，
又

c

a

=

5

，∴(

1

λ-1

) 2•(λ2+1) = 5，∴λ=2，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△PF₁F₂是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．