Question

【題目】已知函數.

（1）若函數存在不小于的極小值，求實數的取值范圍；

（2）當時，若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用導數分析函數的單調性，求出函數的極值，然后令極值大于等于，解出不等式可得出實數的取值范圍；

（2）構造函數，問題等價于，對實數進行分類討論，分析函數在區間上的單調性，結合條件可得出實數的取值范圍.

（1）函數的定義域為，.

當時，，函數在區間上單調遞減，

此時，函數無極值；

當時，令，得，

又當時，；當時，.

所以，函數在時取得極小值，且極小值為.

令，即，得.

綜上所述，實數的取值范圍為；

（2）當時，問題等價于，

記，

由（1）知，在區間上單調遞減，

所以在區間上單調遞增，所以，

①當時，由可知，所以成立；

②當時，的導函數為恒成立，所以在區間上單調遞增，

所以.

所以，函數在區間上單調遞增，從而，命題成立.

③當時，顯然在區間上單調遞增，

記，則，當時，，

所以，函數在區間上為增函數，即當時，.

，，

所以在區間內，存在唯一的，使得，

且當時，，即當時，，不符合題意，舍去.

綜上所述，實數的取值范圍是.