Question

【題目】已知離心率為的橢圓經(jīng)過拋物線的焦點，斜率為1的直線經(jīng)過且與橢圓交于兩點.

（1）求面積；

（2）動直線與橢圓有且僅有一個交點，且與直線分別交于兩點，為橢圓的右焦點，證明為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由拋物線方程求出焦點的坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)即可求出橢圓方程，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，求出弦長，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，即可根據(jù)三角形面積公式求出面積；

（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)可得的關(guān)系，再根據(jù)兩點間的距離公式分別求出，即可計算出為定值．

（1）因為焦點，代入得，，解得，

∴，

∵直線的斜率為1，且經(jīng)過，則直線方程為，

聯(lián)立解得或∴，

∴，又原點到直線的距離為，

∴.

（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，

可得，整理可得，

可知，，，

則為定值.