Question

(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M為PC上一點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=MC，試確定的值.

Answer 1

(本小題滿分12分)

證明：（Ⅰ）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．    ………………… 2分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，                …………………… 4分

∴BQ⊥平面PAD．                           …………………… 5分

∵BQ平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD．                       ………………… 6分

另證：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點,

∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ． 

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．  

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．                    

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．           

∵ AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．                    

（Ⅱ）∵PA=PD，Q為AD的中點，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

 ∴PQ⊥平面ABCD．                     …………………………  8分

（不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；

，，，．…11分

設，

則，，

∵，

∴ ，   

∴             ………… 10分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．  … 11分

∵二面角M-BQ-C為30°，  ，

∴ ．                  ………………  12分