Question

（2009•大連二模）電視臺舉辦猜獎活動，參與者需先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項，問題B有六個選項，但都只有一個選項是正確的．正確回答問題A可獲獎金m元，正確回答問題B可獲獎金n元．活動規定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止．一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準備靠隨機猜測回答問題．試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

分析：隨機猜對問題A的概率p₁=

1

4

，隨機猜對問題B的概率p₂=

1

6

，回答問題的順序有兩種：（1）先回答問題A，再回答問題B．
參與者獲獎金額ξ可取0，m，m+n，則P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

；（2）先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎金額η可取0，n，m+n．，則P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．由此能求出結果．

解答：解：隨機猜對問題A的概率p₁=

1

4

，隨機猜對問題B的概率p₂=

1

6

，
回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
（1）先回答問題A，再回答問題B．
參與者獲獎金額ξ可取0，m，m+n．，則
P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，
P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．
Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

．
（2）先回答問題B，再回答問題A．
參與者獲獎金額η可取0，n，m+n．，則
P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，
P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．
Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

24

）-（

m

24

+

n

6

）=

5m-3n

24

，
于是，當

m

n

＞

3

5

時，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；
當

m

n

=

3

5

時，Eξ=Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；
當

m

n

＜

3

5

時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大．

點評：本題考查概率在生產實際中的運用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細求解，注意合理地進行等價轉化．