Question

【題目】直線與拋物線相交于，兩點，且，若，到軸距離的乘積為．

（1）求的方程；

（2）設點為拋物線的焦點，當面積最小時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設出兩點的坐標，由距離之積為16，可得.利用向量的數量積坐標運算，將轉化為.再利用兩點均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；

（2）設出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達定理發現直線l恒過定點，將面積用參數t表示，求出其最值，并得出此時的直線方程.

解：（1）由題設，

因為，到軸的距離的積為，所以，

又因為，，

，

所以拋物線的方程為．

（2）因為直線與拋物線兩個公共點，所以的斜率不為，

所以設

聯立，得，

即，，

即直線恒過定點，

所以，

當時，面積取得最小值，此時.