Question

【題目】對于兩條平行直線、(在下方)和圖象有如下操作:將圖象在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象:再將圖在直線下方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；再將圖象在直線上方的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，得到圖象；以此類推…；直到圖象上所有點均在、之間(含、上)操作停止，此時稱圖象為圖象關于直線、的“衍生圖形”，線段關于直線、的“衍生圖形”為折線段.

(1)直線型

平面直角坐標系中，設直線，直線

①令圖象為的函數圖象，則圖象的解析式為

②令圖像為的函數圖象，請你畫出和的圖象

③若函數的圖象與圖象有且僅有一個交點，且交點在軸的左側，那么的取值范圍是_______.

④請你觀察圖象并描述其單調性，直接寫出結果_______.

⑤請你觀察圖象并判斷其奇偶性，直接寫出結果_______.

⑥圖象所對應函數的零點為_______.

⑦任取圖象中橫坐標的點，那么在這個變化范圍中所能取到的最高點的坐標為（_______，_______），最低點坐標為（_______，_______）.

⑧若直線與圖象有2個不同的交點，則的取值范圍是_______.

⑨根據函數圖象，請你寫出圖象的解析式_______.

(2)曲線型

若圖象為函數的圖象，

平面直角坐標系中，設直線，直線，

則我們可以很容易得到所對應的解析式為.

①請畫出的圖象，記所對應的函數解析式為.

②函數的單調增區間為_______，單調減區間為_______.

③當時候，函數的最大值為_______，最小值為_______.

④若方程有四個不同的實數根，則的取值范圍為_______.

(3)封閉圖形型

平面直角坐標系中,設直線,直線

設圖象為四邊形,其頂點坐標分別為,,,,四邊形關于直線、的“衍生圖形”為.

①的周長為_______.

②若直線平分的周長,則_______.

③將沿右上方方向平移個單位,則平移過程中所掃過的面積為_______.

Answer 1

【答案】（1）①；②函數圖像見解析；③；④的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為，；⑤偶函數；

⑥；⑦，；⑧

⑨

（2）①詳圖見解析；②增區間和，減區間和

③最大值為12，最小值為0；④

（3）①；②；③

【解析】

通過對“衍生圖形”概念的理解，需要先定位兩條平行直線、，隨著平行直線的變化，“衍生圖形”最終也會發生相應的變化。

解題過程中抓住兩個核心：只要是第奇數次翻折，那么圖像就要把位于下面的沿著向上翻折；只要是第偶數次翻折，圖像就把位于上面的向下翻折，解題過程只要依據翻折的基本原理，結合函數的基本性質，逐步求解即可

首先對于（1）直線型

兩平行直線為直線，直線

對①，當發生第一次翻折，的圖像相當于把軸下方圖像沿著軸向上翻折，此時應滿足

對②，圖像如圖所示

對③，，圖像恒過，又因與圖像有且僅有一個交點，且交點在軸的左側，如圖所示

若只有一個交點，應滿足

對④，根據圖像，的單調遞增區間為，

的單調遞減區間為，

對⑤，圖像關于軸對稱，為偶函數

對⑥，圖像對應的零點為：

對⑦，圖像在上的最高點的坐標為，最低點的坐標為

對⑧，若直線與圖象有2個不同的交點，由圖像可知

則

對⑨，觀察圖像特點為偶函數，當，，當和時，，則

對于（2）曲線型

，所對應的解析式為

對①，圖像如圖所示

對②，函數的單調增區間為和，單調減區間為和

對③，當時候，函數的最大值為，最小值為

對④，④若方程有四個不同的實數根，即等價于與圖像有四個交點

如圖所示：

要使兩函數圖像有四個交點，應滿足，解得

（3）封閉型曲線，根據題意先畫出四邊形的“衍生圖形”，

對①，的周長為

對②，

要使被直線平分周長，則假設直線與交點為，與直線交點為，則應滿足

直線方程為：，直線方程為：

聯立直線得，

聯立直線得，

由得，解得

對③，如圖所示

平移之后掃過的面積應為