Question

【題目】在直角坐標系中，已知橢圓的上頂點坐標為，離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若橢圓上的點的橫坐標為，且位于第一象限，點關于軸的對稱點為點，是位于直線異側的橢圓上的動點.

①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②若動點滿足，試探求直線的斜率是否為定值？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②為定值，見解析

【解析】

（1）直接根據橢圓的幾何性質求解；

（2）由（1）可得點坐標為，則，

①設直線方程，聯立橢圓方程，設，得韋達定理，表示出四邊形面積，從而求出四邊形面積最大值為；

②由題意可得直線斜率與直線斜率互為相反數，設直線的方程，聯立橢圓方程，設，得兩根之和，求得，設，同理可得，根據斜率計算公式得直線的斜率為定值．

解：（1）由題意，可得，

則橢圓的標準方程為；

（2）由（1）可得點坐標為，則，

①設直線方程為，聯立橢圓方程，

化簡可得，

設，則，

∴當時，四邊形面積最大值為；

②由題意，因為，則直線斜率與直線斜率互為相反數，

設直線的方程為，聯立橢圓方程，

化簡可得，設，

則，又，所以，

設，同理可得，

所以，

所以直線的斜率為定值．