Question

已知函數(shù)，且在和處取得極值.
（1）求函數(shù)的解析式.
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）
（2）存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交

試題分析：解：（1），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010924048448.png" style="vertical-align:middle;" />在和處取得極值，
所以和是＝0的兩個(gè)根，
則解得經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件
故 
（2）由題意知，
令得，或，
隨著變化情況如下表所示：

		1	（1，3）	3
	－	0	+	0	－
	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由上表可知：極大值＝，
又取足夠大的正數(shù)時(shí)，；
取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，，
因此，為使曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，
得：，
∴或，
即存在，且或時(shí)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，同時(shí)能利用其極值于x軸的關(guān)系的求解交點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題。