Question

8、一個酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）．在杯內放入一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的范圍為

0＜r≤1

Answer 1

分析：設小球圓心（0，y₀） 拋物線上點（x，y），求得點到圓心距離平方 的表達式，進而根據若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底 需1-y₀≥0 進而求得r的范圍．

解答：解：設小球圓心（0，y₀）
拋物線上點（x，y）
點到圓心距離平方
r²=x²+（y-y₀）²=2y+（y-y₀）²=Y²+2（1-y₀）y+y₀²
若r²最小值在（0，0）時取到，則小球觸及杯底
所以1-y₀≥0
所以0＜y₀≤1
所以0＜r≤1
故答案為0＜r≤1

點評：本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生利用拋物線的基本知識解決實際問題的能力．