Question

一個酒杯的軸截面是拋物線 x²=2y （ 0≤y＜15 ） 的一部分，若在杯內放入一個半徑為3的玻璃球，則球的最高點與杯底的距離是

 

．

Answer 1

分析：設圓心為A（0，a），圓與拋物線的一個切點為B（ x₀，

x02

2

），由AB和切線垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
解出a 值，a+3為所求．

解答：解：玻璃球的軸截面是一個圓，設圓心為A（0，a），圓與拋物線的一個切點為B（ x₀，

x02

2

），切點處的切線
斜率就是函數 y=

1

2

x2 在切點處的導數 x₀，由AB和切線垂直得  

x02 2 -b

x0-0

•x₀=-1，
x₀²=2a-2．   又 AB=3，∴x₀²+(

x02

2

-a)2=9，∴a=5，
球的最高點與杯底的距離是半徑加上a，即 3+5=8，
故答案為：8．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，由AB和切線垂直得到它們的斜率之積等于-1是解題的關鍵．