Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，平面底面，為的中點，是棱的中點，.

（1）求證:平面；
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析（2）

試題分析：（1）由題意知四邊形BCDE為平行四邊形，故連結CE交BD于O，知O是EC的中點，又M是PC的中點，根據中位線定理知MO∥PE，根據線面平行判定定理可得PE∥面BDM；（2）三棱錐P-MBD就是三棱錐P-BCD割去一個三棱錐M-BCD，故三棱錐P-MBD體積就是三棱錐P-BCD體積減去一個三棱錐M-BCD的體積，由PA=PD=AD=2及為的中點知，PE垂直AD，由面面垂直的性質定理知PE⊥面ABCD，故PE是三棱錐P-BCD的高，由M是PC的中點知三棱錐M-BCD的高為PE的一半，故三棱錐P-MBD體積為三棱錐P-BCD體積的一半，易求出三棱錐P-BCD即可求出三棱錐P-MBD體積.
試題解析：

（1）連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形,
連接交于，連接，則，
又平面，平面，所以平面.
（2），
由于平面底面，底面
所以是三棱錐的高，且
由（1）知是三棱錐的高，，，
所以，則.