Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；
數(shù)列{b_n}滿足，，其中S_n為數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，n=1，2，3…
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明T_n＜5．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，
∴，
∴，
∴是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴ 
∴，
又∵，，
∴，b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2﹣b_n+1=2（S_n+1﹣S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，
∴，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，公比為3，
∴．
（2）證明：依題意，
令，

①+…+，

② ①﹣②，得+…+
=3+2×
∴，∴
=5﹣＜5．
即T_n＜5．