Question

在平面直角坐標系內已知兩點A（-1，0）、B（1，0），若將動點P（x，y）的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q（x，y），且滿足•=1．
（Ⅰ）求動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）過點B作斜率為-的直線l交曲線C于M、N兩點，且++=，試求△MNH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，y），表示出=（x+1，y），=（x-1，y），利用•=1，即可求得動點P所在曲線C的方程；
（Ⅱ）設出l：y=-（x-1），與橢圓聯立方程組，消去y，得2x²-2x-1=0，利用++=，確定H的坐標，計算|MN|，及H到直線l的距離即可求出△MNH的面積．
解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，y）．
依據題意，有=（x+1，y），=（x-1，y）．…（2分）
∵•=1，
∴x²-1+2y²=1．
∴動點P所在曲線C的方程是+y²=1 …（4分）
（Ⅱ）因直線l過點B，且斜率為k=-，故有l：y=-（x-1）…（5分）
聯立方程組，消去y，得2x²-2x-1=0．…（7分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得，于是．…（8分）
又++=，得=（-x₁-x₂，-y₁-y₂），即H（-1，-）…（10分）
∴|MN|=，…（12分）
又l：x+2y-=0，則H到直線l的距離為d=
故所求△MNH的面積為S=．…（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，計算弦長及點到直線的距離是關鍵．