Question

【題目】已知函數．

（1）求在點處的切線方程；

（2）（i）若恒成立，求的取值范圍；

（i i）當時，證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（i i）證明見解析.

【解析】

（1）對函數求導，求得，利用導數的幾何意義，即可求得切線方程；

（2）（i）將問題轉化為恒成立，對參數進行分類討論，根據函數單調性，即可容易求參數的范圍；

（i i）當時，；結合（i）中所求，可得，再利用不等式進行適度放縮，結合裂項求和，即可容易證明.

（1）因為，

故可得，

，，

所以在點處的切線方程為：，

即．

（2）（i）因為恒成立，

恒成立，即恒成立．

令，則，

①當時，，所以滿足；

②當時，，在上單調遞減，

因為時，，所以不滿足；

③當時，時，，單調遞增；

時，，單調遞減；

，解得．

所以的取值范圍為．

（i i）時，，所以．

由（i）知：，即，所以．

令，得，即，所以．

即證.