Question

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍. （注：是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范圍是.

試題分析：(Ⅰ) 討論去掉絕對值，利用導(dǎo)數(shù)求得最值； (Ⅱ) 對分，討論：當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，對討論去掉絕對值，分離出通過求函數(shù)的最值求得的范圍.
試題解析：(1) 若，則.當(dāng)時(shí)，，
， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[1,e]上有最小值，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022530207523.png" style="vertical-align:middle;" />，
，而，所以在區(qū)間上有最大值.
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022530909553.png" style="vertical-align:middle;" />． 由，得．           （*）
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，由得，即，
現(xiàn)令， 則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022530285373.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故在上單調(diào)遞增，
從而的最小值為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022531268580.png" style="vertical-align:middle;" />恒成立等價(jià)于，所以；
②當(dāng)時(shí)，的最小值為，而，顯然不滿足題意.
綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.