Question

（本小題滿分12分）(原創題)

在平面直角坐標系中，已知，若實數使向量。

（1）求點的軌跡方程，并判斷點的軌跡是怎樣的曲線；

（2）當時，過點且斜率為的直線與此時（1）中的曲線相交的另一點為，能否在直線上找一點，使為正三角形（請說明理由）。

Answer 1

當時，方程為，P的軌跡是圓。

當，即時，方程為，點的軌跡是雙曲線。

當，即=±1時，方程為，點的軌跡是射線。,在直線上找不到點滿足條件

解析:

解：（1）由已知可得，,,,

∵，∴

即點的軌跡方程

當，且，即時，有，

∵，∴，∴

∴P點的軌跡是點為長軸的焦點在軸上的橢圓。………………………………3分

當時，方程為，P的軌跡是圓。

當，即時，方程為，點的軌跡是雙曲線。

當，即=±1時，方程為，點的軌跡是射線�！�…………………6分

（2）過點且斜率為的直線方程為,

當時，曲線方程為，

由（1）知，其軌跡為以為長軸的焦點在軸上的橢圓。

因直線過

所以，點B不存在。

所以，在直線上找不到點滿足條件。           …………………………12分