Question

已知關于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在區間[0，2π]有且只有兩個不同的實根．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求這兩個實根的和．

Answer 1

分析：（1）先將方程有且只有兩個不同的實根問題轉化為函數y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]與函數y=-

a

2

有且只有兩個不同的交點的問題，畫出函數圖象，數形結合解得a的范圍；（2）利用函數圖象的對稱性即可利用中點坐標公式計算這兩個實根的和

解答：解：（1）關于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在區間[0，2π]有且只有兩個不同的實根，即sin（x+

π

3

）=-

a

2

在區間[0，2π]有且只有兩個不同的實根，
即函數y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]與函數y=-

a

2

有且只有兩個不同的交點，
函數y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]的圖象如圖：數形結合可得：

3

2

＜-

a

2

＜1或-1＜-

a

2

＜

3

2

解得-2＜a＜-

3

或-

3

＜a＜2即所求
（2）由圖象可知兩交點關于x=

π

6

或x=

7π

6

對稱
∴這兩個實根的和為2×

π

6

=

π

3

或2×

7π

6

=

7π

3

∴這兩個實根的和為

π

3

或

7π

3

點評：本題主要考查了方程的根與函數的零點及函數圖象交點問題間的轉化關系，函數y=Asin（ωx+φ）圖象的畫法，數形結合解決交點問題的思想方法