Question

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr²分(其中r是瓶子的半徑,單位是厘米).已知每出售1 mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6 cm.

(1)瓶子半徑多大時,能使每瓶飲料的利潤最大?

(2)瓶子半徑多大時,每瓶飲料的利潤最小?

Answer 1

分析：本題考查導數的應用及利用導數知識解決實際問題的能力.

解：由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤是

y=f(r)=0.2×πr³-0.8πr²=0.8π(-r²),0<r≤6.     

令f′(r)=0.8π(r²-2r)=0.

當r=2時,f′(r)=0;

當r∈(0,2)時,f′(r)<0;

當r∈(2,6)時,f′(r)>0.     

因此,當半徑r>2時,f′(r)>0,它表示f(r)單調遞增,即半徑越大,利潤越高;半徑r<2時,f′(r)<0,它表示f(r)單調遞減,即半徑越大,利潤越低.         

(1)半徑為6 cm時,利潤最大.       

(2)半徑為2 cm時,利潤最小,這時f(2)<0,表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時利潤是負值.