Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)(-1,)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)已知點(diǎn)Q(,0),動(dòng)直線l過點(diǎn)F,且直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),證明:·為定值.

 

Answer 1

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】(1)由題意知:c=1.

根據(jù)橢圓的定義得:2a=+,

即a=,所以b2=2-1=1,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

(2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),A(,0),B(-,0),

則·=(-,0)·(--,0)=-.

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),設(shè)直線l的方程為

x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

由可得(t2+2)y2+2ty-1=0.

顯然Δ>0.所以

因?yàn)?/span>x1=ty1+1,x2=ty2+1,

所以·=(x1-,y1)·(x2-,y2)

=(ty1-)(ty2-)+y1y2

=(t2+1)y1y2-t(y1+y2)+

=-(t2+1)·+t·+

=+=-.

即·=-,為定值.