Question

（2011•海淀區二模）已知函數f（x）=sinxcosx+sin²x．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（II）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=

π

4

代入函數的解析式，化簡求得結果．
（Ⅱ）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，由x的范圍，得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
故當2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3

8

π時，f（x）取到最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin²x，
∴f(

π

4

)=sin

π

4

cos

π

4

+sin2

π

4

，…（1分）
=(

2

2

)2+(

2

2

)2 …（4分）
=1．…（6分）
（Ⅱ）f（x）=sinxcosx+sin²x=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

，…（8分）
=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，…（9分）
由x∈[0，

π

2

]得 2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，…（11分）
所以，當2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3

8

π時，f（x）取到最大值為

2 +1

2

．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．