Question

設函數f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）若a=0，求f（x）的單調區間；
（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）求導，導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．
（2）根據e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而可知當1-2a≥0，即a≤

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時，f′（x）≥0判斷出函數f（x）的單調性，得到答案．

解答：解：（1）a=0時，f（x）=e^x-1-x，f′（x）=e^x-1．
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加
（II）f′（x）=e^x-1-2ax
由（I）知e^x≥1+x，當且僅當x=0時等號成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
從而當1-2a≥0，即a≤

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時，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是當x≥0時，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
從而當a＞

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時，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當x∈（0，ln2a）時，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是當x∈（0，ln2a）時，f（x）＜0．
綜合得a的取值范圍為(-∞，

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]．

點評：本題主要考查利用導數研究函數性質、不等式恒成立問題以及參數取值范圍問題，考查分類討論、轉化與劃歸解題思想及其相應的運算能力．