Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n+S_n=2n．
（Ⅰ）證明：數列{a_n-2}為等比數列，并求出a_n；
（Ⅱ）設b_n=（2-n）（a_n-2），求{b_n}的最大項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件進行變形，整理成等比數列的形式，得證．
（Ⅱ）求出b_n=（2-n）（a_n-2）的通項公式，再作差比較相鄰項的大小，即可找出最大項．

解答：解：（Ⅰ）證明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
兩式相減得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

1

2

（a_n-2）
是首項為a₁-2=-1，公比為

1

2

的等比數列．故a_n-2=-(

1

2

)n-1，故a_n=2-(

1

2

)n-1，．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=(2-n)•(-1)•(

1

2

)n-1=(n-2)•(

1

2

)n-1
由bn+1-bn=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

n-1-2n+4

2n

=

3-n

2n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大項為b3=b4=

1

4

．

點評：本題考查等比關系的確定以及用作差法求數列的最大項，屬于數列中的中檔題，有一定的綜合性，要求答題者有較好的觀察能力及轉化化歸的能力．