Question

規定，其中，為正整數，且，這是排列數 (是正整數，且)的一種推廣．
（1）求的值；
（2）排列數的兩個性質：①，② (其中是正整數)．是否都能推廣到(，m是正整數)的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數的單調區間．

Answer 1

（1）
（2）根據前幾項來推理論證得到一般結論，然后運用排列數公式證明。
（3）函數的增區間為，；減區間為

試題分析：解：（1）；     2分
（2）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是
①， ②．   6分
證明：在①中，當時，左邊，
右邊，等式成立；
當時，左邊
右邊
左邊=右邊 即當時，等式成立
因此①成立                           8分
在②中，當時，左邊右邊，等式成立；
當時，左邊

右邊，
因此②成立．      10分
（3）
先求導數，得．
令，解得或．
因此，當時，函數為增函數，
當時，函數也為增函數，
令，解得，
因此，當時，函數為減函數，
函數的增區間為，；減區間為．   14分
點評：主要是考查了歸納推理能力的運用，以及根據導數來求解函數單調性，屬于中檔題。