Question

某同學在研究函數f（x）=x²e^x的性質時，得到如下的結論：
①f（x）的單調遞減區間是（-2，0）；
②f（x）無最小值，無最大值
③f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有兩個交點
④f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點
其中正確結論的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①求導函數，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調遞減區間；
②令f′（x）＞0，可得f（x）的單調遞增區間，即可得到結論；
③求得函數在（0，0）處切線方程，結合f（x）=x²e^x＞0，可得結論；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點．

解答：解：求導函數，可得f′（x）=x²e^x=（2x+x²）e^x，
①令f′（x）＜0，可得2x+x²＜0，∴-2＜x＜0，∴f（x）的單調遞減區間是（-2，0），即①正確；
②令f′（x）＞0，可得2x+x²＞0，∴x＜-2或x＞0，∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-2），（0，+∞），∴函數在x=-2處取得極大值，且為最大值；在x=0處取得極小值，且為最小值，即②不正確；
③f′（0）=0，f（0）=0，則函數在（0，0）處切線方程為y=0，∵f（x）=x²e^x＞0，∴f（x）的圖象與它在（0，0）處切線有一個交點（0，0），即③不正確；
④由②及f（x）=x²e^x＞0，即可得到f（x）的圖象與直線x-y+2012=0有兩個交點，即④正確，
綜上可知，正確結論的序號是①④
故答案為：①④

點評：本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．