Question

某同學在研究函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時，分別給出下面幾個結論：
①f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數f（x）的值域為（-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結論的序號有

 

．

Answer 1

分析：由奇偶性的定義來判斷①，由分類討論結合反比例函數的單調性求解②；由②結合①對稱區間上的單調性相同說明③正確；由數形結合來說明④不正確．

解答：解：①f(-x)=

-x

1+|x|

=-f(x)∴正確
②當x＞0時，f（x）=

1

1+ 1 x

∈（0，1）
由①知當x＜0時，f（x）∈（-1，0）
x=0時，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正確；
③則當x＞0時，f（x）=

1

1+ 1 x

反比例函數的單調性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函數
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函數，正確
④由③知f（x）的圖象與y=x只有兩個交點．不正確．
故答案為：①②③

點評：本題考查函數的定義域，單調性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．