Question

如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD，且PA=1．
（I）問當實數a在什么范圍時，BC邊上能存在點Q，使得PQ⊥QD？
（II）當BC邊上有且僅有一個點Q使得PQ⊥OD時，求二面角Q-PD-A的余弦值大小．

Answer 1

分析：（I）連接AQ，由已知中PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，我們易得PQ⊥QD?AQ⊥QD，由此我們易得以AD為半徑的圓與BC應該有交點，再由AB=1，BC=a，即可得到滿足條件的實數a的取值范圍；
（II）取AD的中點M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連接QM，QN，根據三垂線定理，我們易判斷出∠QNM為二面角Q-PD-A的平面角，解三角形QMN，即可得到二面角Q-PD-A的余弦值大小．

解答：解：（I）連接AQ，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，若PQ⊥QD成立，
即AQ⊥QD成立
∴點Q應為BC與以AB為直徑的圓的公共點
∴

a

2

≥1
故滿足條件的實數a的取值范圍為a≥2；
（II）由已知可得，當a=2時，BC上有且僅有一點滿足題意，
此時Q點為BC的中點，
取AD的中點M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連接QM，QN
由于QN⊥平面PAD，
∴∠QNM為二面角Q-PD-A的平面角
∵MD=1，PD=

5

，且△DNM∽△DAP
∴MN=

1

5

，
從而在直角△QNM中，QN=

6

5

∴cos∠QNM=

MN

QN

=

6

6

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，二面角大小的求法，（I）的關鍵是將AQ⊥QD轉化為BC與以AB為直徑的圓的公共點；（II）的關鍵是求出二面角Q-PD-A的平面角．