Question

【題目】某廠家擬在2020年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，某產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元，滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件，已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件，該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.

（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的函數(shù)；

（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,為21萬(wàn)元.

【解析】

（1）由不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬(wàn)件，可求k的值，再求出每件產(chǎn)品銷售價(jià)格的代數(shù)式，則利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的函數(shù)可求.

（2）由（1）得，再根據(jù)均值不等式可解.注意取等號(hào).

（1）由題意知,當(dāng)時(shí),

所以,

每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元.

所以2020年的利潤(rùn)；

(2)由(1)知,,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),

該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,為21萬(wàn)元.