Question

（本小題滿分12分）

        設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；②函數”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若 的定義域為D，則對于任意成立。試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

（III）對于M中的函數 的實數根，求證：對于定義域中任意的當且

 

Answer 1

【答案】

（1）因為

所以

又因為當，所以方程有實數根0，

所以函數是集合M中的元素。                   …………4分

   （2）假設方程存在兩個實數根，

則             …………5分

不妨設，根據題意存在數，

使得等式成立，                    …………7分

因為

與已知只有一個實數根；

                                        …………9分

   （3）不妨設為增函數，

所以

又因為為減函數，               …………10分

所以              …………11分

所以，

即

所以

                                        …………12分

 

【解析】略