Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側棱PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；
（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；
（2）在線段PE上是否存在點M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出點M的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：作Ez⊥AD，以E為原點，以 ， 的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz，

則點E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．

∴ =（2，2，﹣2，）， =（﹣1，2，0）， =（0，﹣2，2）．

設平面PBC的法向量為 =（x，y，z），

由 ，可取 =（2，1，3）．

設平面PBE的法向量為 =（a，b，c），

由 ，可取 =（0，1，1），

∴ =

由圖可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值為 ．

（2）解：由（1）可知面PBC的法向量為 =（2，1，3），“線段PE上存在點M，使得DM∥平面PBC”等價于 ；

∵ =（0，2，﹣2）， =（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），

則M（0，2λ﹣2，2﹣2λ）， =（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．

由 =2λ﹣4+6﹣6λ=0．

解得λ= ，

所以線段PE上存在點M，即PE中點，使得DM∥平面PBC．

【解析】（1）作Ez⊥AD，以E為原點，以 ， 的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz，則點E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．求出平面PBC的法向量、平面PBE的法向量即可得二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）線段PE上存在點M，使得DM∥平面PBC”等價于 垂直面PBC的法向量．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．