Question

【題目】設函數 ，且為的極值點．

(Ⅰ) 若為的極大值點，求的單調區間（用表示）；

(Ⅱ)若恰有1解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】

因為為的極值點，所以

所以且，……………3分

（1）因為為的極大值點，所以

當時，；當時，；當時，

所以的遞增區間為，；遞減區間為．…………6分

（2）若，則在上遞減，在上遞增

恰有1解,則，即,所以；…………9分

若，則，

因為，則

，從而恰有一解； ……………12分

若，則

，從而恰有一解；

所以所求的范圍為．

【解析】

（1）由，知，由x=1為f（x）的極值點，知．由x=1為f（x）的極大值點，知c＞1．由此能求出f（x）的單調區間．
（ II）若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增f（x）=0恰有1解，則f（1）=0，實數c的取值范圍．

，又，

則，所以且.

（1）因為為)的極大值點，所以，

當時，；當時，；

當時，，

所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為.

（2）①若，則在上單調遞減，在上單調遞增，

恰有兩解，則，則，

所以；

②若，則，，

因為，則，

，從而只有一解；

③若，則，

，則只有一解.

綜上，使恰有兩解的的取值范圍為.