Question

（本小題滿分12分）
如圖所示，在正方體中，E是棱的中點.

（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點F，使平面？證明你的結論.

Answer 1

解法1：設正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標系.
（Ⅰ）依題意，
得，
所以.
在正方體中，因為,所以是平面的一個法向量，設直線BE和平面所成的角為，則
.
即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

設F是棱上的點，則.又，所以
.而，于是
為的中點，這說明在棱上存在點F(的中點)，使.
解法2：（Ⅰ）如圖（a）所示，取的中點M，連結EM,BM.因為E是的中點，四邊形為正方形，所以EM∥AD.

即直線BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點F，使.
事實上，如圖（b）所示，分別取和CD的中點F，G，連結.因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.
因四邊形與皆為正方形，F，G分別為和CD的中點，所以
，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

略