Question

【題目】已知直線 與橢圓 有且只有一個公共點

．

（I）求橢圓C的標準方程；

（II）若直線 交C于A，B兩點，且PA⊥PB，求b的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】試題分析：（I）聯立直線與橢圓方程，消去，可得的方程，運用判別式為0，再將的坐標代入橢圓方程，解方程可得，進而得到橢圓方程；
（II）設聯立直線和橢圓方程，消去，可得的方程，運用判別式大于0，韋達定理，再由在直線上，代入直線方程，由垂直的條件，運用向量的數量積為0，化簡整理，解方程可得的值．

試題解析：

（I）聯立直線l：y=﹣x+3與橢圓C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），

可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，

由題意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即為9mn=m+n，

又P在橢圓上，可得4m+n=1，

解方程可得m=，n=，

即有橢圓方程為+=1；

（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立直線y=b﹣x和橢圓方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，

判別式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，

由PA⊥PB，即為？=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）

=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1

=﹣2？+﹣+5=0，

解得b=3或，代入判別式，b=3不成立．

則b=．