Question

已知有相同兩焦點F₁、F₂的橢圓

x2

m

+y2=1(m＞1)和雙曲線

x2

n

-y2=1(n＞0)，點P是它們的一個交點，則△F₁PF₂面積的大小是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、1
• D、2

Answer 1

分析：利用雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計算公式，即可得出三角形的面積．

解答：解：如圖所示，不妨設兩曲線的交點P位于雙曲線的右支上，設|PF₁|=s，|PF₂|=t．
由雙曲線和橢圓的定義可得

s+t=2 m s-t=2 n

，
解得

s2+t2=2m+2n st=m-n

．
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

s2+t2-4c2

2st

=

2m+2n-4(m-1)

2m-2n

∵m-1=n+1，
∴m-n=2，
∴cos∠F₁PF₂=0，∴∠F₁PF₂=90°．
∴△F₁PF₂面積為

1

2

st=1．
故選C．

點評：本題考查橢圓與雙曲線方程及其幾何性質及代數運算能力．熟練掌握雙曲線和橢圓的定義、余弦定理和三角形的面積計算公式是解題的關鍵．