Question

已知f(x)=lg(a^x-b^x)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定義域；
(2)在函數圖象上是否存在不同兩點，使過兩點的直線平行于x軸?

Answer 1

(1)由a^x-b^x>0，得()^x>1=()⁰.
∵>1，∴x>0.
∴函數的定義域為(0，+∞).
(2)先證明f(x)是增函數.
對于任意x₁>x₂>0，∵a>1>b>0，
∴>，<.
∴->-.
∴lg(-)>lg(-).
∴f(x₁)>f(x₂).
∴f(x)在(0，+∞)上為增函數.
假設y=f(x)上存在不同的兩點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直線AB平行于x軸，
則x₁≠x₂，y₁=y₂，這與f(x)是增函數矛盾.
∴y=f(x)的圖象上不存在兩點，使過這兩點的直線平行于x軸.

(2)的思維難點是把問題化歸為研究函數的單調性問題.