Question

【題目】已知函數（）.

（1）討論函數極值點的個數，并說明理由；

（2）若， 恒成立，求的最大整數值.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在上沒有極值點；當時， 在上有一個極值點.

（2）3.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數求導，然后分類討論可得當時， 在上沒有極值點；當時， 在上有一個極值點.

(2)結合題中所給的條件構造新函數（），結合函數的性質可得實數的最大整數值為3.

試題解析：

（1）的定義域為，且.

當時， 在上恒成立，函數在上單調遞減.

∴在上沒有極值點；

當時，令得；

列表

所以當時， 取得極小值.

綜上，當時， 在上沒有極值點；

當時， 在上有一個極值點.

（2）對， 恒成立等價于對恒成立，

設函數（），則（），

令函數，則（），

當時， ，所以在上是增函數，

又， ，

所以存在，使得，即，

且當時， ，即，故在在上單調遞減；

當時， ，即，故在上單調遞增；

所以當時， 有最小值，

由得，即，

所以，

所以，又，所以實數的最大整數值為3.