Question

(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.

（文）已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點）, 過點作一斜率為的直線交橢圓于、兩點(其中點在軸上方，點在軸下方) .

(1)求橢圓的方程；

(2)若，求的面積；

(3)設點為點關于軸的對稱點，判斷與的位置關系，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）與共線，設出點的坐標，用向量的坐標運算即可證明.

【解析】

試題分析：(1)由，得                                        ……2分

解得a²=2,b²=1,

所以，橢圓方程為.                                           ……4分

(2)設PQ:y=x-1，

由得3y²+2y-1=0,                                           ……6分

解得： P(),Q(0,-1)，

由條件可知點,

所以=|FT||y₁-y₂|=.                                          ……10分

(3) 判斷：與共線.                                            ……11分

設

則(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂),                        ……12分

由得.                       ……13分

(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)=(x₂-x₁)k(x₂-1)-(x₂-2)(kx₁-k+kx₂-k)

=3k(x₁+x₂)-2kx₁x₂-4k=3k-2k-4k

=k()=0.                                          ……15分

所以，與共線.                                                ……16分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解、直線與橢圓的位置關系的判定和應用以及向量共線的坐標運算的應用，考查學生的運算求解能力和思維的嚴密性.

點評：高考中圓錐曲線的題目一般難度較大，而且一般運算量較大，要仔細運算，更要結合圖形數形結合簡化求解過程.