Question

某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據統計資料預測，今年汛期甲河流發生洪水的概率為0.25，乙河流發生洪水的概率為0.18（假設兩河流發生洪水與否互不影響）．現有一臺大型設備正在該地工作，為了保護設備，施工部門提出以下三種方案：
方案1：運走設備，此時需花費4000元；
方案2：建一保護圍墻，需花費1000元，但圍墻只能抵御一個河流發生的洪水，當兩河流同時發生洪水時，設備仍將受損，損失約56000元；
方案3：不采取措施，此時，當兩河流都發生洪水時損失達60000元，只有一條河流發生洪水時，損失為10000元．
（1）試求方案3中損失費ξ（隨機變量）的分布列；
（2）試比較哪一種方案好．

Answer 1

分析：（1）方案3中損失費ξ的取值為60000和10000，利用相互獨立事件的概率求出其概率即可．
（2）比較哪一種方案好方案一可直接算出其損失，方案二和三中求其損失的期望值，再與方案1比較即可．

解答：解：（1）在方案3中，記“甲河流發生洪水”為事件A，“乙河流發生洪水”為事件B，
則P（A）=0.25，P（B）=0.18，
所以，有且只有一條河流發生洪水的概率為P（A•

.

B

+

.

A

•B）=P（A）•P（

.

B

）+P（

.

A

）•P（B）=0.34，
兩河流同時發生洪水的概率為P（A•B）=0.045，
都不發生洪水的概率為P（

.

A

•

.

B

）=0.75×0.82=0.615，
設損失費為隨機變量ξ，則ξ的分布列為：

ξ	10000	60000	0
P	0.34	0.045	0.615

（2）對方案1來說，花費4000元；
對方案2來說，建圍墻需花費1000元，它只能抵御一條河流的洪水，
但當兩河流都發生洪水時，損失約56000元，而兩河流同時發生洪水的概率為P=0.25×0.18=0.045．
所以，該方案中可能的花費為：1000+56000×0.045=3520（元）．
對于方案來說，損失費的數學期望為：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），
比較可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．

點評：本題考查相互獨立事件的概率，隨機變量的分布列和期望，以及利用概率知識解決實際問題的能力．