Question

【題目】已知過(guò)點(diǎn)P（4，0）的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：交于點(diǎn)A，B，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）當(dāng)直線(xiàn)AB變動(dòng)時(shí)，x軸上是否存在點(diǎn)Q使得點(diǎn)P到直線(xiàn)AQ，BQ的距離相等，若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）軸上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)，的距離相等.

【解析】

（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)為＝，聯(lián)立拋物線(xiàn)的方程，設(shè)，，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)方程；

（2）軸上假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，由題意可得＝，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式和韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得的值，即可判斷存在性．

（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)為＝，

代入拋物線(xiàn)＝，可得＝，

設(shè)，，

可得＝，

由可得＝＝，

解得＝，則拋物線(xiàn)的方程為＝；

（2）當(dāng)直線(xiàn)變動(dòng)時(shí)，軸上假設(shè)存在點(diǎn)使得點(diǎn)到直線(xiàn)，的距離相等，

由角平分線(xiàn)的判定定理可得為的角平分線(xiàn)，即有＝，

由（1）可得＝，＝，

則，

化為＝，

即為＝，

化簡(jiǎn)可得＝，

則軸上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)，的距離相等．