Question

本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.

（1）設(shè)，求與的比值；
（2）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO//AN；當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO//AN

（1）因?yàn)镃₁，C₂的離心率相同，故依題意可設(shè)
.
設(shè)直線分別和C₁，C₂聯(lián)立，求得.
當(dāng)時(shí)，，分別用y_A，y_B表示A、B的縱坐標(biāo)，可知
|BC|:AD|= 
（2）t=0時(shí)的l不符合題意，t≠0時(shí)，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，即
，
解得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823183110671384.png" style="vertical-align:middle;" />，又，所以，解得.
所以當(dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO//AN；當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO//AN.