Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f (x) = ln(e^x + a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)。

Answer 1

（本小題滿分12分）

（Ⅰ）由于f (x) 是R上的奇函數(shù)，f (0) = 0，故a = 0．--------------------3分

（Ⅱ）由（1）知．∴ =，，

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，，∴在(0，e]上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，，∴在（e，+∞)上為減函數(shù)；

當(dāng)x = e時(shí)取極大值．    -----------------------------------------7分

（Ⅲ）令h(x) = x² – 2ex + m，即，

當(dāng)x = e時(shí), 取最小值．

由（Ⅱ）知,當(dāng)x = e時(shí)取最大值．-------------------------------9分

∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程無解．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程有一解．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)方程有二解．----------------------------------12分