Question

（本題滿分15分）

已知，且（為自然對數的底數）。

（1）求與的關系；

（2）若在其定義域內為增函數，求的取值范圍；

（3）證明：

(提示：需要時可利用恒等式：)

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意

   （2）由（1）知：（x>0）

令h(x)=x²－2x+.要使g(x)在（0，+∞）為增函數，只需h(x)在（0，+∞）滿足：

h(x)≥0恒成立.

即x²－2x+≥0

上恒成立[來源:ZXXK][來源:學,科,網Z,X,X,K]

又

所以

   （3）證明：證：lnx－x+1≤0  (x>0)，

設.

當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數；

當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數；

∴x=1為k(x)的極大值點，

∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.

②由①知lnx≤x－1,又x>0，

【解析】略