Question

已知二次函數y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）且有最大值為1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）設g（x）=|f（x）|，畫出g（x）的大致圖象，并指出g（x）的單調區間；
（3）若方程g（x）=m恰有四個不同的解，根據圖象指出實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）可設出函數的交點式（兩點式）方程，然后根據函數y=f（x）有最大值1，可求出a值，進而得到y=f（x）的解析式；
（2）由g（x）=|f（x）|，結合二次函數的圖象和性質及函數圖象的對折變換法則，即可得到函數g（x）的圖象，進而得到函數g（x）的單調區間；
（3）根據（2）中函數g（x）的圖象，分析出m取不同值時，函數圖象與直線y=m的交點的個數，易得方程g（x）=m恰有四個不同的解時，實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵二次函數y=f（x）的圖象與x軸交于（0，0），（2，0）
設f（x）=ax（x-2）
又∵f（x）有最大值1，則a＜0，且-a=1，則a=-1，
∴f（x）=-x（x-2）；
（2）二次函數y=f（x）的圖象如下圖所示：

由圖象可知g（x）的增區間為（0，1），（2，+∞），減區間為（-∞，0），（1，2）；
（3）因為方程g（x）=m的解是g（x）的圖象與直線y=m的交點的橫坐標，
方程g（x）=m恰有四個解，說明g（x）的圖象與直線y=m恰有四個交點，
由圖象可知0＜m＜1．

點評：本題考查的知識點是二次函數的性質，其中畫出函數的圖象然后利用數形結合的思想進行解答，是此類問題的解答關鍵．