Question

【題目】設函數f（x）=xex﹣ax2（a∈R）．
（1）若函數g（x）= 是奇函數，求實數a的值；
（2）若對任意的實數a，函數h（x）=kx+b（k，b為實常數）的圖象與函數f（x）的圖象總相切于一個定點． ①求k與b的值；
②對（0，+∞）上的任意實數x1 ， x2 ， 都有[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數g（x）= 是奇函數，∴ 恒成立，

即 =﹣ ，∴ax2（e﹣x+ex）=0恒成立，

∴a=0．

（2）①f′（x）=ex（x+1）﹣2ax，設切點為（x0，y0），

則切線的斜率為f′（x0）=e （x0+1）﹣2ax0，

據題意f′（x0）是與a無關的常數，故x0=0，k=f′（0）=1，

∵f（0）=0，∴切點為（0，0），

∴切線的方程為h（x）=x，故k=1，b=0．

②∵對（0，+∞）上的任意實數x1，x2，[f（x1）﹣h（x1）][f（x2）﹣h（x2）]＞0恒成立，

∴f（x）﹣h（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，或f（x）﹣h（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

f（x）﹣h（x）=x（ex﹣ax﹣1），

設p（x）=ex﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．

則p（x）＞0＞0在（0，+∞）上恒成立，或p（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．

p′（x）=ex﹣a，

當a≤1時，∵x∈（0，+∞），∴ex＞1，∴p′（x）＞0恒成立，

∴p（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴p（x）＞p（0）=0，符合題意．

當a＞1時，令p′（x）=0得x=lna，

∴當0＜x＜lna時，p′（x）＜0，當x＞lna時，p′（x）＞0，

∴p（x）在（0，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，

∴p（lna）＜p（0）=0，

而p（a）=ea﹣a2﹣1，（a＞1），

令φ（a）=ea﹣a2﹣1，則φ′（a）=ea﹣2a，φ″（a）=ea﹣2＞e﹣2＞0，

∴φ′（a）在（1，+∞）上單調遞增，∴φ′（a）＞φ′（1）=e﹣2＞0，

∴φ（a）在（1，+∞）上單調遞增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0，

即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合題意．

綜上，實數a的取值范圍（﹣∞，1]．

【解析】（1）根據奇函數的定義得出恒等式，從而得出a的值；（2）①由f′（x）與a無關即可得出切點橫坐標，再計算切點坐標得出切線方程，從而得出k，b的值；②由題意可知f（x）﹣h（x）在（0，+∞）上恒正或恒負，化簡可得p（x）=ex﹣ax﹣1在（0，+∞）上恒正或恒負，討論a的范圍，計算p（a）的最值進行判斷．