Question

【題目】在三棱柱中，平面，，，，點D在棱上，且，建立如圖所示的空間直角坐標系．

（1）當時，求異面直線與的夾角的余弦值；

（2）若二面角的平面角為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由建立的空間直角坐標系，表示出和，利用向量的夾角公式即可求出異面直線與的夾角的余弦值；

（2）根據題意分別求出平面和平面的法向量，由二面角的平面角為，即可得到的值。

（1）易知，，，

因為， ，所以 ．

當時， ，所以，，

所以．

由于異面直線所成角的范圍為，故異面直線與的夾角的余弦值為（2）由，可知， ，所以，

由（1）知， 設平面 的法向量為，

則 即 ，令，

解得，，

所以平面 的法向量為；

設平面的法向量為，

則，即

令，解得，，

所以平面的一個法向量為．

因為二面角的平面角為，

所以 ，

即，解得或，由于，

故的值為．