Question

設F為拋物線C：y²=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（　　）

• A、

  3 3

  4

• B、

  9 3

  8

• C、

  63

  32

• D、

  9

  4

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線方程求出焦點坐標，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點縱坐標的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答： 解：由y²=3x，得2p=3，p=

3

2

，
則F（

3

4

，0）．
∴過A，B的直線方程為y=

3

3

(x-

3

4

)，
即x=

3

y+

3

4

．
聯立

y2=3x x= 3 y+ 3 4

，得4y2-12

3

y-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=3

3

，y1y2=-

9

4

．
∴S△OAB=

1

2

×

3

4

|y1-y2|
=

3

8

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

8

(3 3 )2-4×(- 9 4 )

=

9

4

．
故選：D．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查數學轉化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關系問題，常采用聯立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數關系解題，是中檔題．