Question

已知

3π

4

＜α＜π，tanα+cotα=-

10

3

（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函數的基本關系，把等式轉化成關于tanα的一元二次方程，求得tanα的值，最后利用α的范圍求得答案．
（Ⅱ）利用二倍角公式對原式進行化簡整理，然后分子分母同時除以cosα的值，最后把（1）中tanα的值代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由tanα+cotα=-

10

3

得3tan²α+10tanα+3=0，
即tanα=-3或tanα=-

1

3

，又

3π

4

＜α＜π，
所以tanα=-

1

3

為所求．

（Ⅱ）

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

=

5 1-cosα 2 +4sinα+11 1+cosα 2 -8

- 2 cosα

=

5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16

-2 2 cosα

=

8sinα+6cosα

-2 2 cosα

=

8tanα+6

-2 2

=-

5 2

6

．

點評：本題主要考查了二倍角公式的化簡求值和同角三角函數的基本關系的運用．要能熟練記憶同角三角函數關系中的倒數關系，商數關系和平方關系等．