Question

在數列{a_n}中，S_n為其前n項和，滿足Sn=kan+n2-n(k∈R，n∈N*)．
（ I）若k=1，求數列{a_n}的通項公式；
（ II）若數列{a_n-2n-1}為公比不為1的等比數列，求S_n．

Answer 1

分析：（1）當k=1時，S_n=a_n+n²-n，而a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可求得S_n=n²+n，從而可求得數列{a_n}的通項公式；

解答：解：（1）當k=1時，S_n=a_n+n²-n，
∴S_n-1=n²-n，（n≥2），
∴S_n=（n+1）²-（n+1）=n²+n（n≥1）
∴當n=1時，a₁=S₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2n（n∈N^*）．
（ II）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=ka_n-ka_n-1+2n-2，
∴（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，
若k=1，則a_n-2n-1=-1，
從而{a_n-2n-1}為公比為1的等比數列，不合題意；
若k≠1，則a₁=0，a₂=

2

1-k

，a₃=

4-6k

(1-k)2

，a₁-3=-3，a₂-5=

5k-3

1-k

，a₃-7=

-7k2+8k-3

(k-1)2

，
由題意得，(a2-5)2=（a₁-3）（a₃-7）≠0，
∴k=0或k=

3

2

，
當k=0時，S_n=n²-n，a_n=2n-2，a_n-2n-1=-3，不合題意；
當k=

3

2

時，a_n=3a_n-1-4n+4，從而a_n-2n-1=3[a_n-1-2（n-1）-1]，
∵a₁-2×1-1=-3≠0，a_n-2n-1≠0，{a_n-2n-1}為公比為3的等比數列，
∴a_n-2n-1=-3ⁿ，
∴a_n=2n-3ⁿ+1，
∴S_n=n²+2n-

3n+1

2

+

3

2

．

點評：本題考查等差數列的概念，考查數列的求和，求得k的值是難點，也是關鍵，突出考查分類討論思想與化歸思想的應用，考查類比推理與運算能力，屬于難題．