Question

【題目】若函數f（x）同時滿足：

①對于定義域上的任意x恒有f（x）+f（﹣x）＝0，

②對于定義域上的任意x1，x2，當x1≠x2時，恒有0，則稱函數f（x）為“理想函數”．

給出下列四個函數中①f（x）； ②f（x）； ③f（x）；④f（x），

能被稱為“理想函數”的有_______________（填相應的序號）．

Answer 1

【答案】③④

【解析】

由題意可得f（x）為定義域上的奇函數和減函數，可得f（x）為“理想函數”，對四個函數，分別考慮其奇偶性和單調性，即可得到正確結論．

由題意可得f（x）為定義域上的奇函數和減函數，可得f（x）為“理想函數”，

由①f（x）為{x|x≠0}的奇函數，在x＞0，x＜0函數遞減，不為“理想函數”；

由②f（x），可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）為偶函數，不為“理想函數”；

由③f（x）（﹣1＜x＜1），f（﹣x）+f（x）＝log2log2log21＝0，

可得f（x）為﹣1＜x＜1的奇函數，且0＜x＜1時，f（x）＝log2（1）遞減，

即有f（x）在（﹣1，1）遞減，為“理想函數”；

對于④f（x），即f（x）＝﹣x|x|，可得f（x）為R上的奇函數，且為減函數，

故④為“理想函數”．

故答案為：③④．